Question

垂直于直線2x-6y+1=0且與曲線f（x）=x³+3x²-1相切的直線l與曲線f（x）及y軸所圍成的圖形的面積是______．

Answer 1

設直線l的方程為y=-3x+m，切點為（n，n³+3n²-1），
則由題意可得3n²+6n=-3，∴n=-1，
故切點為（-1，1），代入切線方程 y=-3x+m可得m=-2，
直線l的方程為y=-3x-2，
∴直線l與曲線f（x）及y軸所圍成的圖形的面積是

∫

0-1

[(x3+3x2-1)-(-3x-2)]dx=

∫

0-1

(x+1)3dx=

1

4

(x+1

)4|

0-1

=

1

4

故答案為：

1

4