Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD^底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點，作EF^PB交PB于點F，

(1)求證：PA//平面EDB；
(2)求證：PB^平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）證明線面平行，由判定定理，可證明PA與平面EDB內的一條直線平行. 連接AC，交BD于點O，連接EO.即可通過中位線的性質證明EO//PA，從而證明了本題；（2）證明線面垂直，由判定定理，可證明PB與平面EFD內兩條相交直線垂直.又題設條件已給出EF^PB，從而只需再找出一條即可.由題意，可以證明DE⊥面PCB,從而DE⊥PB.本題即可得證；（3）由第（2）問，通過垂面法可知∠DFE即為二面角C-PB-D的平面角.又易知DE^EF，再計算各邊，從而由三角函數知識可得二面角C-PB-D的平面角為.
試題解析：（1）證明：連接AC，交BD于點O，連接EO.
可知O為AC的中點，又因為E為PC的中點，
所以EO//PA, 因為EO面EDB,PA面EDB
∴PA//平面EDB                       4分

（2）證明：∵側棱PD^底面ABCD，且BC面ABCD
∴BC ^PD，又BC⊥CD，PD∩CD="D," ∴BC ^面PCD.因為DE面PCD, ∴BC ^ DE
又PD＝DC，點E是PC的中點，可知DE ^PC.由于PC∩BC=C,所以DE⊥面PCB.
∴DE⊥PB  同時EF⊥PB，DE∩EF=E
可得  PB^平面EFD                       8分
（3）解：由（2）得PB^平面EFD，且EF面CPB，DF面DPB
所以∠DFE即為二面角C-PB-D的平面角.設PD=DC=2
在Rt△DEF中，DE^EF，且DE=，PF=.
∴sin∠DFE＝,因此二面角C-PB-D的平面角為.                    12分