Question

如圖，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（Ⅰ）點是直線中點，證明平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

試題分析：（Ⅰ）點是直線中點，證明平面；證明線面平行，主要是證明線線平行，證明線線平行的方法有兩種，一種利用三角形的中位線，另一種是利用平行四邊形對邊平行，此題不符合利用三角形的中位線，可考慮構造平行四邊形來證，取的中點連結，證明即可，故只需證明且即可，由作法可知，，為此取的中點，連結，證明即可；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值，處理方法有兩種，一傳統方法，二向量法，傳統方法首先確定二面角，過作的平行線，過作的垂線交于，連結，注意到棱垂直平面，∴是所求二面角的平面角，從而求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值，向量法，建立空間坐標系，以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，主要找兩個平面的法向量，平面的一個法向量為．只需設平面的法向量為，由題意求出法向量為即可．
試題解析：（Ⅰ）證明：
取的中點連結，則
，，取的中點，連結，
∵且，∴△是正三角形，∴．

∴四邊形為矩形，∴．      4分
又∵，
∴且，四邊形是平行四邊形．
∴，而平面，平面，∴平面．6分
（Ⅱ）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，
∵，∴，
是平面與平面所成二面角的棱．    8分
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．      10分
設，則，，
∴，                       
∴．    12分
（法2）∵，平面平面，
∴以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，則軸在平面內（如圖）．設，由已知，得，，．

∴，，       8分
設平面的法向量為，
則且，
∴∴
解之得
取，得平面的一個法向量為.            10分
又∵平面的一個法向量為．   10分
．   12分