Question

設對于任意實數，不等式恒成立.
（1）求的取值范圍；
（2）當取最大值時，解關于的不等式：．

Answer 1

（1）m≤8．（2）原不等式的解集為{x|x≥-}．

解析試題分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，問題轉化為求f（x）的最小值．
（2）當m取最大值8時，原不等式等價于：|x-3|-2x≤4，去掉絕對值符號，解此不等式．解：（1）設f（x）=|x+7|+|x-1|，則有f（x）=
當x≤-7時，f（x）有最小值8；當-7≤x≤1時，f（x）有最小值8；
當x≥1時，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）當m取最大值時m=8，原不等式等價于：|x-3|-2x≤4，
等價于：x≥3，且x-3-2x≤4，或x≤3，3-x-2x≤4等價于：x≥3或-≤x≤3，
所以原不等式的解集為{x|x≥-}．
考點：絕對值不等式
點評：本題考查絕對值不等式的解法，以及恒成立問題，體現了等價轉化的數學思想．