Question

【題目】定義：對于函數f（x），若在定義域內存在實數x，滿足f（﹣x）=﹣f（x），則稱f（x）為“局部奇函數”．
（1）已知二次函數f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），試判斷f（x）是否為定義域R上的“局部奇函數”？若是，求出滿足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，請說明理由；
（2）若f（x）=2x+m是定義在區間[﹣1，1]上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．
（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3為定義域R上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為“局部奇函數”等價于關于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

當f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），時，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）為“局部奇函數”．

（2）解：當f（x）=2x+m時，f（﹣x）=﹣f（x）可化為2x+2﹣x+2m=0，

因為f（x）的定義域為[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2x∈[ ，2]，則﹣2m=t+ ．

設g（t）=t+ ，則g'（t）= ，

當t∈（0，1）時，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數，

當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數．

所以t∈[ ，2]時，g（t）∈[2， ]．

所以﹣2m∈[2， ]，即m∈[﹣ ，﹣1]．

（3）解：當f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3時，f（﹣x）=﹣f（x）可化為4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．

t=2x+2﹣x≥2，則4x+4﹣x=t2﹣2，

從而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保證f（x）為“局部奇函數”．

令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，

1° 當F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，

由當F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣ ≤m≤1+ ；

（說明：也可轉化為大根大于等于2求解）

綜上，所求實數m的取值范圍為1﹣ ≤m≤2

【解析】（1）利用局部奇函數的定義，建立方程f（﹣x）=﹣f（x），然后判斷方程是否有解即可；（2）利用局部奇函數的定義，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的實數m的取值范圍，可得答案；（3）利用局部奇函數的定義，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的實數m的取值范圍，可得答案；