Question

【題目】如圖，曲線由左半橢圓和圓在軸右側(cè)的部分連接而成， ， 是與的公共點，點， （均異于點， ）分別是， 上的動點．

（Ⅰ）若的最大值為，求半橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過點，且， ，求半橢圓的離心率．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(1)由題意可知，當為半橢圓與軸的左交點， 為圓與軸的右交點時， 會取得最大值，（2）設(shè)直線方程與圓組方程組，由韋達用k表示出Q點坐標，由，用k表示P點坐標，再由代入向量坐標運算，可求得斜率k及P點坐標，可得橢圓方程及離心率。

試題解析;（Ⅰ）由已知得：當為半橢圓與軸的左交點， 為圓與軸的右交點時， 會取得最大值，即，解得，由圖像可得，即，故半橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線方程為， ， ，聯(lián)立

得，故， ， ，又，

且， ，故， ， ，

又，且， ，

，

解得，故，代入解得，故．