Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，橢圓方程可設為．（1分）
∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，
∴．
所求橢圓方程為．（4分）
（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得3y²+2y-1=0，解得．
∴．（9分）
（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴．．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0?2k²-（2+4k²）m=0．
∴．（14分）
分析：（1）設橢圓方程為．由兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．
（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x-1．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設條件得．由此入手可求出．
（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．由題意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知．
點評：本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．