Question

（本小題滿分12分）

       已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁、F₂，設(shè)它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，且

   （1）求橢圓的方程；

   （2）已知N（0，-1），對(duì)于（1）中的橢圓，是否存在斜率為的直線，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)Q滿足？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)分別為、

       由雙曲線和橢圓的定義，得

       解得      2分

           

       即     解得     4分

       從而       故橢圓的方程為    6分

   （2）設(shè)直線的方程為

       由方程組

       消去得

       直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)

      

       即①    8分

       則

       由，得Q為線段AB的中點(diǎn)，

       則   

             

       即     化簡(jiǎn)得     10分

       代入①得解得       11分

       又由

       所以，直線在軸上的截距的取值范圍是       12分