Question

某種海洋生物身體的長度f（t）（單位：米）與生長年限t（單位：年）滿足如下的函數關系：f（t）=

10

1+2-t+4

．（設該生物出生時t=0）
（1）需經過多少時間，該生物的身長超過8米；
（2）設出生后第t₀年，該生物長得最快，求t₀（t₀∈N^*）的值．

Answer 1

分析：（1）根據f（t）的解析式，由題意可列出不等式f（t）=

10

1+2-t+4

≥8，求解不等式即可得到答案；
（2）出生后第t₀年，該生物長得最快，則求f（t₀）-f（t₀-1）的最大值時t₀的值，令u=2-t0+4，構造g（u）=

u

(1+u)(1+2u)

，利用基本不等式求最值即可，要注意取等號的條件．

解答：解：（1）由題意，f（t）≥8，即

10

1+2-t+4

≥8，
化簡可得，2-t+4≤

1

4

，即2^-t+4≤2^-2，
解得t≥6，
故該生物6年后身長可超過8米；
（2）設出生后第t₀年，該生物長得最快，則有
f（t₀）-f（t₀-1）=

10

1+2-t0+4

-

10

1+2-t0+5

=

10•2-t0+4

(1+2-t0+4)(1+2-t0+5)

（t₀≥1），
令u=2-t0+4，則u∈（0，8]，
令g（u）=

u

(1+u)(1+2u)

=

u

2u2+3u+1

=

1

2u+ 1 u +3

≤

1

2 2u• 1 u +3

=

1

2 2 +3

，
當且僅當2u=

1

u

，即u=2-

1

2

，2-t0+4=2-

1

2

，t₀=4.5時取“=”，
又∵t₀∈N^*，
∴t₀的值可能為4或5，
∵f（4）-f（3）=f（5）-f（4）=

5

3

，
∴所求的年份為第4年和第5年，兩年內各生長了

5

3

米．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．建立模型后運用了基本不等式求最值．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．