Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：若，則；

（2）當時，試討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當時，函數有且僅有一個零點，當時，函數有兩個零點．

【解析】

試題（1）函數求導，再求導得恒成立，又因為恒成立；

（2）由（1）可知，當x≤0時，f″(x)≤0，可得 對x∈R，f′(x)≥0，即ex≥x+1，分類討論當x≥-1時，當x＜-1時，函數y=f(x)的零點個數即可得解；

當x＜-1時，再分0≤m≤1和m＜0兩種情況進行討論，由函數零點定理進行判斷即可得到答案.

試題解析：，所以

(1)當時，，則，令，則，當時，，即，所以函數在上為增函數，即當時，，所以當時，恒成立，所以函數在上為增函數，又因為，所以當時，對恒成立.

(2)由（1）知，當時，，所以，所以函數的減區間為，增函數為.所以，所以對 ，，即.

①當時，，又，，即，所以當時，函數為增函數，又，所以當 時，，當時，，所以函數在區間上有且僅有一個零點，且為.

②當時，（ⅰ）當時，，所以，所以函數在上遞增，所以，且，故時，函數在區間上無零點.

(ⅱ)當時， ，令，則，所以函數在上單調遞增，，當時，，又曲線在區間上不間斷，所以，使，故當時，，當時，，所以函數的減區間為，增區間為，又，所以對，又當時，，又，曲線在區間上不間斷.所以，且唯一實數，使得，綜上，當時，函數有且僅有一個零點；當時，函數有個兩零點.