Question

在直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，現(xiàn)給出四個(gè)命題：
①已知P（1，3），Q（sin²x，cos²x），x∈R，則d（P，Q）為定值；
②用|PQ|表示P，Q兩點(diǎn)間的“直線距離”，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
③已知P為直線y=x+2上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則d（P，Q）的最小值為

2

；
④已知P，Q，R三點(diǎn)不共線，則必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q）
以上命題正確的是（　�。�

• A、②③
• B、①④
• C、①②
• D、①②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：新定義,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問(wèn)題的表達(dá)式，然后根據(jù)集合中絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答： 解：（1）若P（1，3），Q（sin²x，cos²x）（α∈R），
則d（P，Q）=|1-sin²x|+|3-cos²x|=cos²x+2+sin²x=3為定值，故①正確；
（2）|PQ|表示P，Q兩點(diǎn)間的“直線距離”，那么|PQ|≤d（P，Q）≤

2

|PQ|，
即d（P，Q）≥|PQ|≥

2

2

d（P，Q），故②正確；
（3）已知P為直線y=x+2上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則d（P，Q）的最小值為

2

；
設(shè)P（x，x+2），O（0，0），則d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|x+2|，表示數(shù)軸上的x到-2和0的距離之和，其最小值為2，故③不正確；
（4）∵P，Q，R三點(diǎn)不共線，則d（Q，R）＞0，故d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，Q），故④正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了“直角距離”的定義，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．