Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，求函數在上的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）2個

【解析】

(1)對求導后,根據的正負對的正負進行分情況討論,得出對應單調性即可;

(2)方法一:對求導后,對,,三種情況,結合零點存在性定理分別討論零點個數;方法二:對求導后,對,兩種情況,結合零點存在性定理分別討論零點個數.

(1),其定義域為,,

①當時,因為,所以在上單調遞增,

②當時,令得,令得,

所以在上單調遞減,上單調遞增,

綜上所述,

當時,在上單調遞增,

當時,在單調遞減,單調遞增.

(2)方法一:由已知得,,則.

①當時,因為,所以在單調遞減,

所以,所以在上無零點;

②當時,因為單調遞增,且,,

所以存在,使,

當時,,當時,,

所以在遞減,遞增,且,所以,

又因為,

所以,所以在上存在一個零點,

所以在上有兩個零點;

③當時,,所以在單調遞增,

因為,所以在上無零點;

綜上所述,在上的零點個數為2個.

方法二:由已知得,,則.

①當時,因為,所以在單調遞增,

所以,所以在上無零點;

②當時,所以在單調遞增,

又因為,,

所以使,

當時,,當時,

所以在單調遞減,單調遞增,

且,所以,

又因為,所以,

所以在上存在唯一零點,

所以在上存在兩個零點,

綜上所述,在上的零點個數為2個.