Question

【題目】已知函數.

（1）若函數與在處有相同的切線，求的值；

（2）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍.

（3）若，恒有成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）2.

【解析】試題分析：（1）分別求函數導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，再根據解出，n的值；（2）即導函數變號，求出導函數得在內有至少一個實根且變號，結合二次函數圖像可得判別式大于零，即，最后根據基本不等式求最值（3）先根據絕對值定義去掉絕對值，當時；當時，，轉化為恒成立問題，再利用參變分離法將其轉化為對應函數最值問題，最后根據導數求對應函數最值得實數的取值范圍，進而得最大值.

試題解析：（1）函數在處的切線方程為 ，

由得，由得；

（2），

因為在定義域內不單調，所以在內有至少一個實根且曲線與不相切，

因為，于是，

所以知，所以，

（3）當時，由得，當時；

當時，，

令，則問題轉化為：當時，恒成立，當時，恒成立，

而，當時，函數是單調函數，最小值為，

為使恒成立，注意到，所以，即，

同理，當時，，

綜上，當，即的最大值為2.