Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1，-1)平移到圓O，直線l與圓O相交于點P₁，P₂兩點，若在圓O上存在點P₃，使

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，且

OP3

=λ

a

(λ∈R)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先求出平移后的圓的方程，設出直線的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數的關系，求出點P₃的坐標的解析式，把點P₃的坐標代入圓的方程，可解得m值．

解答：解：將圓的方程x²+y²+2x-2y=0化為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移后得到圓x²+y²=2，
∵

OP3

=

OP1

+

OP2

=λ

a

，又 |

OP1

|=|

OP2

| =

2

，
∴P₁P₂⊥OP₃，

OP3

∥

a

，
∴直線l的斜率k=1，設直線l的方程為 y=x+m，
由

y=x+m x2+y2=2

得 2x²+2mx+m²-2=0，△=4m²-8（m²-2）＞0，
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-m，y₁+y₂=m
∴

OP3

=（m，n），∵點P₃（m，-m）在圓上，
∴m²+（-m）²=2
解得m=±1，滿足△=4m²-8（m²-2）＞0，
當 m=1時，l的方程為x-y+1=0，
當 m=-1時，l的方程為x-y-1=0．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，直線和圓相交的性質，一元二次方程根與系數的關系，屬中檔題