Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點，若在⊙O上存在點C，使

OC

+

OA

+

OB

=

0

，  且

OC

=λ

a

．求直線l的方程．

Answer 1

分析：先求出平移后的圓的方程，設出直線的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數的關系，求出點C的坐標的解析式，把點C的坐標代入圓的方程，可解得m值．

解答：解：將圓的方程x²+y²+2x-2y=0化為（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移后得到圓x²+y²=2，
∵-

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，又 |

OA

|=|

OB

|=

2

，
∴AB⊥OC，

OC

∥

a

，
∴直線l的斜率 k=1，設直線l的方程為 y=x+m，
由

y=x+m x2+y2=2

得 2x²+2mx+m²-2=0，△=4m²-8（m²-2）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-m，y₁+y₂=m
∴

OC

=(m，-m)，∵點 C（m，-m）在圓上，
∴m²+（-m）²=2
解得m=±1，滿足△=4m²-8（m²-2）＞0，
當 m=1時，l的方程為x-y+1=0，
當 m=-1時，l的方程為x-y-1=0．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，直線和圓相交的性質，一元二次方程根與系數的關系，體現了數形結合的數學思想，屬中檔題．