Question

【題目】某游戲棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，選手拋擲均勻硬幣進行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時，游戲結束.設游戲過程中棋子出現在第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋子所走站數之和的分布列與數學期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第站，則記選手落敗，若最終棋子落在第站，則記選手獲勝.請分析這個游戲是否公平.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，數學期望；（2）見解析；（3）游戲不公平.

【解析】

（1）由題意得出隨機變量的可能取值有、、、，求出相應的概率，由此可得出隨機變量的分布列，并計算出隨機變量的數學期望；

（2）棋子要到第站，分兩種情況討論：一是由第站跳站得到，二是由第站跳站得到，可得出，變形后可得出結論；

（3）根據（2）中的的遞推公式得出和的大小關系，從而得出結論.

（1）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，

，，

，.

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依題意，當時，棋子要到第站，有兩種情況：

由第站跳站得到，其概率為；

可以由第站跳站得到，其概率為.

所以，.

同時減去得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率為，

由于若跳到第站時，自動停止游戲，故有.

所以，即最終棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戲不公平.