Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的值的符號間的關(guān)系，確定其單調(diào)區(qū)間；再利用其導(dǎo)函數(shù)求出其極值，進(jìn)而求得最值.

解：(1)f′(x)=-3x²+6x+9，

    令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)、(3,+∞).

(2)因?yàn)閒(-2)=2+a，f(2)=22+a，所以f(2)＞f(-2).又因?yàn)樵冢ǎ?，3）上f′(x)＞0，所以f(x)在［-1,2］上單調(diào)遞增.又由于f(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2.

    故f(x)=-x³+3x²+9x-2，因此f(-1)=-7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為－7.

[一通百通]有關(guān)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，除了利用增減函數(shù)的定義之外，還可以考慮利用相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷；對于求函數(shù)的最值問題，除了以往的方法外還可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來求得結(jié)果.