Question

設數列{a_n}滿足a₁=2，an+1=an+2n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）去掉數列{a_n}中的第3項，第6項，第9項，…，第3n項…，余下的項按順序不變，重新組成一個新數列{b_n}，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）a₁=2，因為an+1=an+2n所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）當n=2k時，Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)=

6(8 n 2 -1)

7

；當n=2k+1時，Tn=T2k+23k+1=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

，由此能求出T_n．

解答：解：（1）a₁=2，
因為an+1=an+2n
所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2
…a2-a1=21
將上述等式兩邊分別相加，
得an-a1=21+22+…+2n-1=

2(1-2n-1)

1-2

，
所以an=2n．…（6分）
（2）當n=2k時，
Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)
=

6(8k-1)

7

…（10分）
=

6(8 n 2 -1)

7

；
當n=2k+1時，
Tn=T2k+23k+1
=

20•8k-6

7

+23k+1
=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

．…（14分）
綜上可得T_n=

6•8 n-1 2 -6 7 ，n為偶數 20•8 n-1 2 -6 7 +2 3n-1 2 ，n為奇數

．…（16分）

點評：本題考查數列的通項公式和數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．