Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（2，0）為長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

OC

-

OB

|=2|

BC

-

BA

|，則其焦距為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可知且a=2，進而可確定C（1，-1），代入橢圓方程，從而可求橢圓的焦距．

解答： 解：由題意可知，|

OC

|=|

OB

|=

1

2

|

BC

|且a=2，
又，|

OC

-

OB

|=2|

BC

-

BA

|，
∴|

BC

|=2|

AC

|，
又∵

AC

•

BC

=0
∴

AC

⊥

BC

∴|

OC

|=|

AC

|=

2

如圖，在Rt△AOC中，求得C（1，-1），代入橢圓方程得，

1

4

+

(-1)2

b2

=1，
解得，b2=

4

3

，
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

∴c=

2 6

3

，2c=

4 6

3

故答案為：

4 6

3

．

點評：本題重點考查橢圓的性質，考查向量知識的運用，解題的關鍵是求出點C的坐標，從而可求出橢圓的方程．