Question

（本小題滿分12分）

    如圖在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰，AB=2，PA=1,PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點。

       （1）求證：BE∥平面PDF；

（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；

（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳角。

Answer 1

（1）取PD中點為M，連ME，MF  ∵ E是PC的中點  ∴ ME是△PCD的中位線

     ∴ MECD   ∵ F是AB中點且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB   ∴ 四邊形MEBF是平行四邊形  …………2分

     ∴ BE∥MF   …………………3分

     ∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分

  （2）∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA  ……………5分

     ∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB為正△

     ∵ F是AB中點  ∴ DF⊥AB   ……………6分

     ∵ PA、AB是平面PAB內的兩條相交直線  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分

     ∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分

  （3）（解法一）以A為原點，垂直于AD、AP的方向為x軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，易知P（0，0，1）、C（，3，0）、D（0，2，0）、

F（，，0）…………………9分

     由（2）知DF⊥平面PAB，

∴ =（，-，0）是平面PAB的一個法向量  …………10分

     設平面PCD的一個法向量為（x，y，z）

     由·=（x，y，z）·(，1，0)=0得x+y=0

     由·=（x，y，z）·(0，2，-1)=0得2y-z=0

     在以上二式中令y=，則得x=-1，z=2

     ∴ =（-1，，2）  …………………11分

        設平面PAB與平面PCD所成的銳角為θ

     ∴ cosθ=|cos＜，＞|=

     ∴θ=60⁰  ∴ 平面PAB與平面PCD所成的銳角為60⁰  …………12分

（3）（解法二）設平面PAB與平面PCD的交線為，

  ∵ CD∥AB，AB平面PAB，CD平面PAB ∴ CD∥平面PAB

  ∵ CD平面PCD  ∴ CD∥  ∴ AB∥  ……………9分

        作FM⊥交于M，連MD，易知FM=AP=1 ，DF= …………10分

       由（2）知DF⊥AB  ∴ ⊥DF

      ∵ FM、DF是平面MDF內的兩條相交直線，∴ ⊥平面MDF 

      ∴ ∠FMD就是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角  …………11分

       在直角△FMD中，tan∠FMD= 

      ∴ ∠FMD=60⁰

      ∴ 平面PAB與平面PCD所成的銳角為60⁰  …………………12分