Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e， ）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．
（i）若AF1﹣BF2= ，求直線AF1的斜率；
（ii）求證：PF1+PF2是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知a2=b2+c2，e= ，由點（1，e）在橢圓上，得 ，∴b=1，c2=a2﹣1．

由點（e， ）在橢圓上，得

∴ ，∴a2=2

∴橢圓的方程為 ．

（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），

又∵直線AF1與直線BF2平行，∴設AF1與BF2的方程分別為x+1=my，x﹣1=my．

設A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，

∴由 ，可得（m2+2） ﹣2my1﹣1=0．

∴ ， （舍），

∴|AF1|= ×|0﹣y1|= ①

同理|BF2|= ②

（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|= ，∴ ，解得m2=2．

∵注意到m＞0，∴m= ．

∴直線AF1的斜率為 ．

（ii）證明：∵直線AF1與直線BF2平行，∴ ，即 ．

由點B在橢圓上知， ，∴ ．

同理 ．

∴PF1+PF2= =

由①②得， ， ，

∴PF1+PF2= ．

∴PF1+PF2是定值．

【解析】（1）根據橢圓的性質和已知（1，e）和（e， ），都在橢圓上列式求解．（2）（i）設AF1與BF2的方程分別為x+1=my，x﹣1=my，與橢圓方程聯立，求出|AF1|、|BF2|，根據已知條件AF1﹣BF2= ，用待定系數法求解；（ii）利用直線AF1與直線BF2平行，點B在橢圓上知，可得 ， ，由此可求得PF1+PF2是定值．
【考點精析】利用直線的斜率和橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．