Question

【題目】已知數列，其前項和為，滿足，，其中，，，.

⑴若，，（），求證：數列是等比數列；

⑵若數列是等比數列，求，的值；

⑶若，且，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）(), 所以，故數列是等比數列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數列是等差數列.

試題解析：

（1）證明：若，則當(),

所以，

即，

所以，

又由，，

得，，即，

所以，

故數列是等比數列．

（2）若是等比數列，設其公比為（ ），

當時，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①

當時，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②

當時，，即，得

　　　　　　　　　，　　　　　　　　③

②①，得 ，

③②，得 ，

解得．

代入①式，得．

此時()，

所以，是公比為１的等比數列，

故．

（3）證明：若，由，得，

　　又，解得．

由，， ，，代入得，

所以，，成等差數列，

由，得，

兩式相減得：

即

所以

相減得：

所以

所以

，

因為，所以，

即數列是等差數列.