Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線，分別交于，兩點，交的準線于，兩點．

（1）若在線段上，是的中點，證明：；

（2）若△的面積是△的面積的兩倍，求中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題設，設：，：，則，且，，，，，利用斜率公式計算；（2）由三角形面積關系得，再由當與軸不垂直時，，可得（）即，檢驗與軸垂直時也成立．

試題解析：由題設，設：，：，則，且，，，，．

記過，兩點的直線為，則的方程為．

（1）由于在線段上，故，

記的斜率為，的斜率為，

則，

∴．

（2）設與軸的交點為，

則，，

由題設可得，

所以（舍去），．

設滿足條件的的中點為，

當與軸不垂直時，由，可得（）．

而所以（）．

當與軸垂直時，與重合，

所以所求軌跡方程為．