Question

已知x，y∈R且

x+y≤4 3x-y≥0 y≥0

，則存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0的概率為（　　）

• A、

  π

  24

• B、

  π

  8

• C、2-

  π

  24

• D、1-

  π

  24

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用輔助角公式將條件進行化簡，求出對應的平面區域的面積即可得到結論．

解答： 解：∵（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴（4-x）cosθ-ysinθ=

2

，
即

(4-x)2+y2

cos（θ+β）=

2

，（β為參數），
∵存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴

(4-x)2+y2

≥

2

，
即（x-4）²+y²≥2，對應的圖象是以（4，0）為圓心，半徑r=

2

的圓的外部，
作出不等式組對應的平面區域如圖，
則由

x+y=4 3x-y=0

，解得

x=1 y=3

，即A（1，3），
則△AOB的面積S=

1

2

×4×3=6，
圓在△AOB內部的面積S=

1

2

×(

2

)2×

π

4

=

π

4

，
則（x-4）²+y²≥2，對應的區域面積S=6-

π

4

，
則對應的概率P=

6- π 4

6

=1-

π

24

，
故選：D．

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，根據三角函數的輔助角公式結合線性規劃的知識是解決本題的關鍵．