Question

【題目】已知數列滿足，.

（1）求數列的通項公式；

（2）已知數列的通項公式為，若對于一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

（3）設，是否存在正整數，使得數列中存在某項滿足成等差數列？若存在，求出符合題意的的集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，的集合為，4，6，10，18，

【解析】

（1）求得數列的首項，再將換為，兩式相除，化簡，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；

（2）求得，運用作差判斷數列的單調性，可得最小值，結合不等式恒成立問題解法，可得，由對數函數的單調性可得所求的范圍；

（3）求得，假設存在正整數，使得數列中存在滿足，，，成等差數列，運用等差數列的中項性質和整除的性質，可判斷存在性．

（1）數列滿足，

可得時，，即，

時，，又，

兩式相除可得，化為，

即數列為首項為2，公差為1的等差數列，可得；

（2），，

設，

，

可得，

則數列為遞增數列，的最小值為，

對于一切，不等式恒成立，

可得，即有或

解得：；

（3）設，則，，，

假設存在正整數，使得數列中存在滿足，，，成等差數列，

可得，即，

當時，無解；當時，，

又為正整數，為不小于6的正整數，可得，2，4，8，16，32，

即，25，17，13，11，10，滿足題意，

故存在正整數，使得數列中存在滿足，，，成等差數列，

且的集合為，4，6，10，18，．