Question

【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)，簡(jiǎn)記為．若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點(diǎn)列．

（1）判斷，是否為點(diǎn)列，并說明理由；

（2）若為點(diǎn)列，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方．任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；

（3）若為點(diǎn)列，正整數(shù)，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）是，理由詳見解析；（2）鈍角三角形，證明詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)新定義表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用作差法比較的大小即可判斷；

(2)由為點(diǎn)列得出的關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出三角形的各邊長(zhǎng)，可以分析得出最大角，結(jié)合余弦定理即可判斷；

(3)利用累加的方法可以得出即可證明結(jié)論.

(1) 為點(diǎn)列.理由如下：

由題意可知，，所以，，即數(shù)列滿足，所以為點(diǎn)列.

(2) 為鈍角三角形.理由如下：

由題意可知，，所以，因?yàn)?/span>為點(diǎn)列，所以，又點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，所以所以對(duì)其中連續(xù)三點(diǎn)，都有又 所以，所以為最大角，由余弦定理得，故為鈍角，所以為鈍角三角形.

(3)證明：由(2)知，因?yàn)?/span>為點(diǎn)列，所以.又正整數(shù)，滿足，所以不妨設(shè),則相加可得 同理可得，即又，所以.