Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，，為的中點，為線段上的一點.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）連接DB，由已知可得△ABD為等邊三角形，得到DE⊥AB，則DE⊥DC，再由ADNM為矩形，得DN⊥AD，由面面垂直的性質可得DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，由線面垂直的判斷可得DE⊥平面DCN，進一步得到DE⊥CN；

（2）由（1）知DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，DN⊥DC，又DE⊥DC，以D為坐標原點，DE、DC、DN分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設，λ∈[0，1]，分別求出平面PDE與平面DEC的一個法向量，由二面角P﹣DE﹣C的大小為列式求得λ即可．

（1）連接.

在菱形中，，，

為等邊三角形.

又為的中點，.

又，.

四邊形為矩形，.

又平面平面，

平面平面，

平面，

平面.

平面，.

又

平面.

平面，

.

（2）由（1）知平面，

平面，。

兩兩垂直.

以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，

設，

則，.

設平面的法向量為，

則，

即，

令，則.

由圖形知，平面的一個法向量為，

則，

即，即.

，

解得，的值為.