Question

【題目】已知函數與互為相反數，且，函數的定義域為.

（1）求的值；

（2）若，求的值域；

（3）若函數的最大值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）a＝log32．（2）[﹣2，0]．（3）λ．

【解析】

（1）先求得，再根據f（a+2）＝18計算a；

（2）令t＝2x，結合二次函數閉區間上最值的求解即可．

（3）討論對稱軸與區間[1，2]的關系得出h（t）的單調性，根據最大值為計算λ．

（1）由題意函數與互為相反數，∴，

又∵f（a+2）＝3a+2＝18，∴3a＝2，即a＝log32．

（2）當時，由（1）可知，

令t＝2x，

由x∈[0，1]可得t∈[1，2]，g（t）＝t﹣t2在[1，2]上單調遞減，

故當t＝1時有最大值0，t＝2時有最小值﹣2，

故值域[﹣2，0]．

（3）∵函數的最大值為，由（2）可知：即為h（t）＝﹣t2+λt，t∈[1，2]的最大值為，

①若2即λ≥4，則h（t）在[1，2]上單調遞增，

∴h（2）＝﹣4+2λ，解得λ（舍）．

②若1即λ≤2時，則h（t）在[1，2]上單調遞減，

∴h（1）＝﹣1+λ，解得λ（舍）．

③若12，即2＜λ＜4，則h（t）在[1，2]上先增后減，

∴h（），解得λ（舍負）．

綜上，λ．