Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與相交于、兩點，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓上存在點，使得四邊形為平行四邊形，求此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】試題分析：由離心率為得c，由的周長為，可求得值，進而求得的值；

（2）設點，，，易判斷直線存在斜率，設直線的方程為，與橢圓聯立方程組得，由四邊形為平行四邊形，得，根據韋達定理可把P點的坐標用K表示出來，再帶入橢圓即可求得的值.

試題解析：

（1）∵橢圓離心率為，∴，∴，

又周長為，∴，解得，∴，，

∴橢圓的標準方程為．

（2）設點，，，

當直線斜率不存在時，這樣的直線不滿足題意，

∴設直線的斜率為，則直線的方程為，

將直線的方程代入橢圓方程，整理得，

∴，

故，

∵四邊形為平行四邊形，∴，

從而，，

又在橢圓上，∴，

整理得：，即，解得，

故所求直線的方程為：．