Question

如圖等腰梯形ABCD的兩底分別為AB=10，CD=4，兩腰AD=CB=5，動點P由B點沿折線BCDA向A運動，設P點所經過的路程為x，三角形ABP的面積為S.

（1）求函數S=f(x)的解析式；

（2）試確定點P的位置，使△ABP的面積S最大.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）20

【解析】本小題主要函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．

（1）先作出所需輔助線：過C點作CE⊥AB于E，再分類討論求出：在當x∈（0，5]時，當x∈（5，9]時，當x∈（9，14]時，函數S=f（x）表達式即可；

（2）分類討論：當x∈（0，5]時，當x∈（5，9]時，當x∈（9，14]時，分別求出各個區間上的最大值，最后綜合即得，△ABP的面積S最大值即可．

解（1）過C點作CE⊥AB于E，

在△BEC中，∴

由題意，當時，過P點作PF⊥AB于F，

∴PF=，∴當時，

當時，

當時， 

∴．綜上可知，

函數

（2）由（1）知，當時，f（x）=4x為增函數，

所以，當x=5時，取得最大值20．

當x∈（5，9]時，f（x）=20，最大值為20．當x∈（9，14]時，f（x）=56-4x為減函數，無最大值．

綜上可知：當P點在CD上時，△ABP的面積S最大為20．