Question

【題目】如圖，橢圓，拋物線，過上一點異于原點作的切線l交于A，B兩點，切線l交x軸于點Q．

若點P的橫坐標為1，且，求p的值．

求的面積的最大值，并求證當面積取最大值時，對任意的，直線l均與一個定橢圓相切．

Answer 1

【答案】（1）6；（2），證明見解析.

【解析】

不妨設計算出AQ，BQ的長度代入條件計算出p值；

設則令，則l：表示出的面積，求出其最大值，驗證直線l與橢圓相切；

解：點，由對稱性不妨設．

于是，于是所以點Q是的左焦點．

設焦準距為．

類比拋物線的焦半徑算法可得．

于是，于是，所以．

設于是l：．

于是令，則l：．

聯立．

設，．

．

當且僅當取等，且滿足所以的面積的最大值為．

注意到即為這個等式類似于；

于是猜想橢圓聯立

得：；

；

故當面積取最大值時，直線l均與一個定橢圓相切．