Question

設各項均為正實數的數列的前項和為，且滿足（）．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的通項公式為（），若，，（）成等差數列，求和的值；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其三邊長為數列中的三項，，．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），，．
（Ⅲ）作如下構造：，，，其中，它們依次為數列中第項，第項，第，顯然它們成等比數列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個．
用反證法證明其中任意兩個和不相似

解析試題分析：（Ⅰ）由題意，①，當時，有②，
②-①，得，各項為正，，
從而，故成公差2的等差數列．又時，，解得．故．                                4分
（Ⅱ），要使，，成等差數列，須，
即，整理得，因為，為正整數，只能取2，3，5．故，，．                  10分
（Ⅲ）作如下構造：，，，其中，它們依次為數列中第項，第項，第，顯然它們成等比數列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個．
下面用反證法證明其中任意兩個和不相似：若∽，且，則，整理得，所以，這與矛盾，因此，任意兩個三角形不相似．故原命題正確．           16分
考點：本題主要考查等差數列、等比數列的基礎知識，構成三角形的條件，反證法。
點評：基礎題，首先利用的關系，確定得到的通項公式，進一步研究中項的關系。為證明，，能構成三角形，在明確表達式的基礎上，應用了反證法。