Question

（本小題滿分15分） 已知動圓過定點，且與直線相切，橢圓 的對稱軸為坐標軸，一個焦點是，點在橢圓上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；
（Ⅱ）若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）軌跡的方程，橢圓的方程為．（Ⅱ）的面積等于的直線不存在．

解析試題分析：（Ⅰ）設過圓心作直線直線的垂線，垂足為，由題意得，即動點到定點的距離與到定直線的距離相等．由拋物線的定義知，點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為． ------3分
設橢圓方程為，將點代入方程得，
整理得，解得或（舍去）．
故所求橢圓的方程為．------------------------6分
（Ⅱ）軌跡的方程為即，則，---------------7分
所以軌跡在處的切線的斜率為，故直線的斜率為， 假設符合題意的直線方程為． --------8分
代入橢圓方程化簡得，設，，，，，-----------------9分
故，------------------------10分
又點到直線的距離是， --------------------11分
故-------------------13分
當且僅當，即取得等號（滿足）．--------------14分
此時的面積等于，
所以的面積等于的直線不存在．--------------15分
考點：橢圓的簡單性質；圓的簡單性質；軌跡方程的求法；直線與橢圓的綜合應用。
點評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關點法、參數法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關鍵是條件的轉化——轉化成某一已知曲線的定義條件。