Question

設集合A={x|y=

x-4 2-x

}，B={k|f(x)=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定義域為R}
（1）求集合A、B；
（2）若f是A到B的函數，使得f：x→y=

2

x-1

，若a∈B，且a∉{y|y=

2

x-1

，x∈A}，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數的定義域的求法確定集合A，B；
（2）由y=

2

x-1

，可求函數值域，進而可求a的范圍．

解答：解：（1）由

x-4

2-x

≥0，得，

(x-4)(x-2)≤0 x≠2

．
解得2＜x≤4；
要使函數f(x)=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定義域為R，
當k=0時，分母為1，原函數有意義．
當k≠0時，需k²-4k＜0，解得0＜k＜4．
∴A=（2，4]，B=[0，4）；
（2）∵y=

2

x-1

（2＜x≤4），
∴y∈[

2

3

，2），由B=[0，4）．
又∵a∈B且a∉{y|y=f（x），x∈A}，
∴a∈[0，

2

3

）∪[2，4）．
∴實數a的取值范圍是a∈[0，

2

3

)∪[2，4)．

點評：本題主要考查函數定義域的求法，考查了函數的值域及補集運算，解答（2）的關鍵是對題意的理解，是中檔題．