Question

（5分）（2011•德陽二模）拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點是離心率為的雙曲線：32y2﹣mx2=1的一個焦點，正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線E上，C，D兩點在直線y=x﹣4上，則該正方形的面積是（ ）

A.18或25 B.9或25 C.18或50 D.9或50

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：離心率為的雙曲線：32y2﹣mx2=1，可解得m=32，此是一等軸雙曲線，求得它的焦點，再由拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點是離心率為的雙曲線：32y2﹣mx2=1的一個焦點，求得拋物線的標準方程，根據正方形ABCD的兩個頂點A、B在拋物線E上，C，D兩點在直線y=x﹣4上，求正方形的面積即可．

【解析】
由題意雙曲線的離心率為，故此雙曲線是一個等軸雙曲線，所以m=32

可得c2=+=，可得c=

由于拋物線與雙曲線的焦點相同，故p=，拋物線E：x2=y

令直線AB的方程是y=x﹣b，代入拋物線E：x2=y得x2=x﹣b，

故有xA+xB=1，xA×xB=﹣b

由此得弦長AB為×=

又直線AB與直線CD兩平行線的距離是

由題意知=，解得b=2，或b=6

當b=2時，正方形的邊長為=3，其面積是18

當b=6時，正方形的邊長為=5，其面積是50

故選C．