Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點．

（1）求證：AE⊥B1C；

（2）若G為C1C中點，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明AE⊥BB1和AE⊥BC得到AE⊥面BB1C1C，進而得到證明.

（2）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，證明EP⊥平面ACC1A1得到∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，計算得到答案.

（1）因為BB1⊥面ABC，AE面ABC，所以AE⊥BB1

由AB=AC，E為BC的中點得到AE⊥BC·

∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C

∴AE⊥B1C

（2）如圖所示：連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，

則EP⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACC1A1

∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．

∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

不妨設AB=AC=AA1=2，

則EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是