Question

【題目】已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且點P1的坐標為(1，－1)．

(1)求過點P1，P2的直線l的方程；

(2)試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上

Answer 1

【答案】（1）2x＋y＝1（2）證明見解析

【解析】

（1）求出P2的坐標，列出直線的兩點式方程，化簡即可；

（2）由（1）知，n=1時，2a1＋b1=1成立，假設n=k時，2ak＋bk=1成立，進而證得當n=k+1時，2ak+1＋bk+1＝1也成立，故n∈N*，Pn都在直線l上.

(1)由題意得a1＝1，b1＝－1，故b2＝，a2＝1×＝，∴P2.

∴直線l的方程為，即2x＋y＝1.

(2)證明:①當n＝1時，由（1）知，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立，

②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，2ak＋bk＝1成立．

當n＝k＋1時，則

∴當n＝k＋1時，2ak+1＋bk+1＝1也成立．

由①②知，對于n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即點Pn在直線l上．