Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點，B為上頂點，的面積為2.直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點（P，Q異于，）

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）求的面積最大值；

（3）設直線與直線的斜率分別為，，求證：為常數，并求出這個常數.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析；

【解析】

（1）由離心率得，由三角形面積得，結合可求得得橢圓方程；

（2）設直線l：交橢圓于，，直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，代入，然后可換元：設后用函數的單調性求得最值；

（3）計算，注意由（2）還可得，即，代入可得常數．

解：（1）設橢圓的焦距為（），因為，

所以，，，

所以橢圓的標準方程為

（2）設直線l：交橢圓于，，

聯立，化簡得，

由根與系數關系得

所以，

令，，故，

當，單調遞增，故時，最大值為；

（3）證：因為，

由第（2）問知，即

將其代入上式

得為常數，即證