Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

16

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）本小題主要考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力．
（2）要求三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的問題，題目都要變形到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的形式，變形時利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式逆用．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx，
∴f（x）=sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

由于ω＞0，依題意得

2π

2ω

=π，
所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∴g（x）=f（2x）=

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

∵0≤x≤

π

16

時，

π

4

≤4x+

π

4

≤

π

2

，
∴

2

2

≤sin（4x+

π

4

）≤1，
∴1≤g（x）≤

1+ 2

2

，
g（x）在此區(qū)間內(nèi)的最小值為1．

點評：利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可以化簡三角函數(shù)式（1）化簡的標(biāo)準(zhǔn)：第一，盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)最低，而且盡量化成積的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根號內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出．