Question

給定拋物線C：y²=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．設l的斜率為1，則

.

OA

與

.

OB

夾角為

 

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得焦點的坐標，進而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設出A，B的坐標，根據韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂的值，進而直線方程求得x₁x₂值然后利用平面向量的運算法則求得

OA

•

OB

和|OA|•|OB|的值，進而向量的數量積的計算求得cos＜

OA

，

OB

＞的值，最后求得

OA

與

OB

夾角．

解答：解：拋物線的焦點為F（1，0），直線l的方程為：x=y+1；
將其代入拋物線方程得：y²-4y-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
又x₁=

1

4

y₁²，x₂=

1

4

y₂²，
∴x₁x₂=

1

16

（y₁y₂）²=1．

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3．
|OA|•|OB|=

x 2 1 + y 2 1

•

x 2 2 + y 2 2

=

(x1x2) 2+( y1y2)  2+ 1 16 (y1y2) 2[(y1+y2) 2-2y1y2]

=

41

，
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA |• | OB |

=-

3 41

41

故

OA

與

OB

夾角為π-arccos

3 41

41

．
故答案為：π-arccos

3 41

41

．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質和平面向量的計算．在研究形如y²=2px的拋物線與直線的有關問題時，設直線方程為x=my+b的形式，不僅可以簡化計算，有時還可以避免對直線斜率是否存在的討論．