Question

給定拋物線C：y²=4x，F是其焦點，過F的直線l：y=k（x-1），它與C相交于A、B兩點．如果

FB

=λ

AF

且λ∈[

1

16

，

1

4

]．那么k的變化范圍是（　　）

• A、[

  8

  15

  ，

  4

  3

  ]
• B、[-

  4

  3

  ，-

  8

  15

  ]
• C、[

  8

  15

  ，

  4

  3

  ]∪[-

  4

  3

  ，-

  8

  15

  ]
• D、（-∞，-

  4

  3

  ]∪[

  8

  15

  ，+∞）

Answer 1

分析：根據

FB

=λ

AF

得關于x₂和y₂的方程組，進而求得x₂=λ．得到B的坐標，根據焦點坐標可得直線的方程，進而求得直線在y軸上的截距，根據

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，判斷

2 λ

λ-1

在λ∈[

1

16

，

1

4

]上是遞減的，進而得到答案．

解答：解：由題設知

FB

=λ

AF

得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即

x2-1=λ(1-x1)(1) y2=-λy1(2)

（2）
由（2）得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x²，∴x₂=λ²x₁（3）
聯立（1）（3）解得x₂=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
當λ∈[

1

16

，

1

4

]時，l在y軸上的截距為

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

由

2 λ

λ-1

=

2

λ +1

+

2

λ-1

，可知

2 λ

λ-1

在[

1

16

，

1

4

]上是遞減的，
∴

8

15

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

8

15

直線l在y軸上截距的變化范圍是[

8

15

，

4

3

]∪[-

4

3

，-

8

15

]
故選C．

點評：本題主要考查了拋物線的應用和拋物線與直線的關系．考查了學生對圓錐曲線知識的綜合掌握．