已知
是拋物線
上的點，
是
的焦點， 以
為直徑的圓
與
軸的另一個交點為
.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過點
且斜率大于零的直線
與拋物線交于
兩點，
為坐標原點，
的面積為
，證明：直線與圓相切.
（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）詳見解析.
解析試題分析：（Ⅰ）利用
為圓
的直徑，則
求得點
的橫坐標，再由點在拋物線上求得曲線
的方程，再 根據(jù)圓的圓心是的中點，易求圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立方程組，消去
得到關(guān)于
的一元二次方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求出
，利用弦長公式、三角形的面積公式求出直線
的方程，點到直線的距離公式求圓心
到的距離等于圓的半徑，證明直線與圓相切.
試題解析：(Ⅰ) 為圓的直徑，則，即
，
把
代入拋物線的方程求得
，
即
，
； 3分
又圓的圓心是的中點，半徑
，
則：. 5分
(Ⅱ) 設(shè)直線的方程為
，
,
，
由
得
，則
7分
設(shè)
的面積為
,則
9分
解得：
，又
，則
，
∴直線的方程為
，即
，
又圓心到的距離
，故直線與圓相切. 12分
考點：拋物線方程，圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長公式.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系中，
為坐標原點，如果一個橢圓經(jīng)過點P(3,
),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，點
為動點，
、
分別為橢圓
的左、右焦點．已知
為等腰三角形.
（1）求橢圓的離心率
；
（2）設(shè)直線
與橢圓相交于
、
兩點，
是直線上的點，滿足
，求點的軌跡
方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，直線l與拋物線
相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求
的值；
（II）如果
，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心為原點
，長軸長為
，一條準線的方程為
.
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）射線
與橢圓的交點為
，過作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于
兩點（兩點異于）．求證：直線
的斜率為定值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
的離心率
，且橢圓C上一點
到點Q
的距離最大值為4，過點
的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足
（O為坐標原點），當
時，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設(shè)橢圓中心在坐標原點，
是它的兩個頂點，直線
與直線
相交于點D，與橢圓相交于
兩點.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且
·
＝1，｜
｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知，橢圓C過點
，兩個焦點為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)
是橢圓C上的兩個動點，如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數(shù)，證明直線
的斜率為定值，并求出這個定值．
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