Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：

(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF²＝AD·BC.

Answer 1

見解析

解析證明　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，
從而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
從而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，
∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
同理可證，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，
故EF²＝AF·BF，所以EF²＝AD·BC.