Question

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準備對現有的一條穿城公路MON進行分流，已知穿城公路MON自西向東到達城市中心后轉向方向，已知∠MON＝，現準備修建一條城市高架道路L，L在MO上設一出入口A，在ON上設一出口B，假設高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為10km．

（1）求兩站點A，B之間的距離；

（2）公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C，為保護古建筑群，設立一個以C為圓心，5km為半徑的圓形保護區．因考慮未來道路AB的擴建，則如何在古建筑群和市中心之間設計出入口A，才能使高架道路及其延伸段不經過保護區？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）過O作直線OE⊥AB于E，則OE＝10，設∠EOA＝，可求∠EOB＝﹣，（），可得AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），可求AB＝，又，結合，可得cos，可求兩出入口之間距離的最小值為20（）．

（2）設切點為F，以為坐標原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，設直線AB的方程為y＝kx+t（k＞0），可求t＝20k，或t＝60k，可求A（﹣20，0），此時OA＝20，又由（1）可知當時，OA＝10，綜上即可得解．

（1）過作直線OE⊥AB于E，則OE＝10，設∠EOA＝α，則∠EOB＝﹣α，（），

故AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），

AB＝10tan+10tan（﹣）＝10（）＝，

又cos＝cos（﹣cos+sin）＝

由，可得：2﹣，

故cos，當且僅當2﹣，即＝時取等號，

此時，AB有最小值為20（），即兩出入口之間距離的最小值為20（）．

（2）由題意可知直線AB是以為圓心，10為半徑的圓的切線，根據題意，直線AB與圓C要相離，其臨界位置為直線AB與圓C相切，

設切點為F，此時直線AB為圓與圓的公切線，因為，出入口A在古建筑群和市中心之間，

如圖所示，以為坐標原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，

由CF＝5，OE＝10，因為圓的方程為x2+y2＝100，圓的方程為（x+30）2+y2＝25，

設直線AB的方程為y＝kx+t（k＞0），

則：，所以兩式相除可得：＝2，所以t＝20k，或t＝60k，

所以，此時A（﹣20，0）或A（﹣60，0）（舍去），此時OA＝20，

又由（1）可知當時，OA＝10，綜上，OA．

即設計出入口A離市中心的距離在10km到20km之間時，才能使高架道路及其延伸段不經過保護區．