Question

設函數y=f（x）是定義在R⁺上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（

1

9

）的值；
（2）證明：f（x）在R⁺上是減函數；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（1），f（

1

9

）的值只需令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（2）證明f（x）在R⁺是減函數；取定義域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根據關系式f（xy）=f（x）+f（y），證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）由（1）的結果可將不等式f（x）+f（2-x）＜2轉化成f[x（2-x）]＜f（

1

9

），再根據單調性，列出不等式，解出取值范圍即可．

解答：解：（1）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），則f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，則f（

1

9

）=2；
（2）取定義域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）在R⁺上為減函數．
（3）由條件①及（1）的結果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），其中0＜x＜2，
由可（2）得：

x(2-x)＞  1 9 0＜x＜2

，解得x的范圍是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

點評：此題主要考查抽象函數的一系列問題．其中涉及到函數單調性的證明，函數值的求解問題，屬于綜合性問題，涵蓋知識點較多，屬于中檔題．