【題目】已知橢圓
：
的左、右頂點分別是雙曲線
：
的左、右焦點，且與相交于點(
)．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
：
與橢圓交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓是否恒過定點?若恒過定點，求出該定點；若不恒過定點，請說明理由．
【答案】（1）
（2）以線段AB為直徑的圓恒過定點
.
【解析】
（1）根據點
在雙曲線
上，求出
，由橢圓
的左右頂點是雙曲線的左右焦點可求出
，最后由點也在橢圓上求得
.
（2）先把直線方程與橢圓方程聯立，消去
，得到關于
的一元二次方程，利用根據系數的關系得到
，
兩點的橫坐標關系.根據圓上任意一點到直徑端點的構成的兩個向量垂直，即數量積為0，則可求出以線段AB為直徑的圓恒過定點.
解：（1）將
代入
解得
，
.
將代入
解得
，
橢圓的標準方程為：；
（2）設
，
由
整理得
，
法一：由對稱性可知，以AB為直徑的圓若恒過定點，是定點必在y軸上.
設定點為
，則
，解得
，
以線段AB為直徑的圓恒過定點
法二：設定點為
，則
…
解得
，
以線段AB為直徑的圓恒過定點.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓周率
是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數，它既常用又神秘，古今中外很多數學家曾研究它的計算方法.下面做一個游戲：讓大家各自隨意寫下兩個小于1的正數然后請他們各自檢查一下，所得的兩數與1是否能構成一個銳角三角形的三邊，最后把結論告訴你，只需將每個人的結論記錄下來就能算出圓周率的近似值.假設有
個人說“能”，而有
個人說“不能”，那么應用你學過的知識可算得圓周率的近似值為（）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】在正方體
中，點E是棱
的中點，點F是線段
上的一個動點．有以下三個命題：
①異面直線
與
所成的角是定值；
②三棱錐
的體積是定值；
③直線
與平面
所成的角是定值．
其中真命題的個數是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E分別為AA1，B1C的中點.
（1）證明：DE⊥平面BCC1B1；
（2）若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小.
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【題目】如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點，將△AMB沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）
A.存在某個位置，使得CN⊥AB1
B.CN的長是定值
C.若AB=BM，則AM⊥B1D
D.若AB=BM=1，當三棱錐B1－AMD的體積最大時，三棱錐B1－AMD的外接球的表面積是4π
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【題目】在平面直角坐標系
中，曲線C的參數方程為
（
為參數，
）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的圾坐標方
，且直線l與曲線C相交于A，B兩點.
（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標方程；
（2）若
，點
滿足
，求此時r的值.
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【題目】“一世”又叫“一代”.東漢·王充《論衡·宜漢篇》：“且孔子所謂一世，三十年也”，清代·段玉裁《說文解字注》：“三十年為一世，按父子相繼曰世”.而當代中國學者測算“一代”平均為25年.另根據國際一家研究機構的研究報告顯示，全球家族企業的平均壽命其實只有26年，約占總量的
的家族企業只能傳到第二代，約占總量的
的家族企業只能傳到第三代，約占總量
的家族企業可以傳到第四代甚至更久遠（為了研究方便，超過四代的可忽略不計）.根據該研究機構的研究報告，可以估計該機構所認為的“一代”大約為（ ）
A.23年B.22年C.21年D.20年
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【題目】波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（
且
）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現有
，
，則當的面積最大時，AC邊上的高為_______________.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
，（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點，求△ABM面積的最小值．
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