Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E分別為AA1，B1C的中點.

（1）證明：DE⊥平面BCC1B1；

（2）若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取BC的中點F，連結AF，EF，推導出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，從而B1B⊥面ABC，進而B1B⊥AF，由此能證明AF⊥平面BCC1B1，從而DE⊥面BCC1B.

（2）過F作FH⊥AB，由題意得FH＝1，推導出FH⊥面AA1B1B，即點F到平面AA1B1B的距離為1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距離d＝1，求出BE＝2，EF，BB1＝2，以F為原點，FA為x軸，FB為y軸，FE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小.

（1）證明：取BC的中點F，連結AF，EF，

則EF∥B1B∥DA，且，

∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，

∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，

∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，

∴DE⊥面BCC1B.

（2）解：過F作FH⊥AB，由題意得FH＝1，

由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，

∴FH⊥面AA1B1B，即點F到平面AA1B1B的距離為1，

又EF∥B1B，EF平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，

∴點E與點F到平面AA1B1B的距離相等，

∴E到平面AA1B1B的距離d＝1，

∴sin30°，解得BE＝2，∴EF，BB1＝2，

以F為原點，FA為x軸，FB為y軸，FE為z軸，建立空間直角坐標系，

則B（0，，0），C（0，，0），D（），E（0，0，），

∴（0，2，0），（），（0，），

設平面CBD和平面BDE的法向量分別為，（x2，y2，z2），

則，取x1＝1，得（1，0，﹣1），

，取y2＝1，得（0，1，1），

∴cos，

由圖知二面角C﹣BD﹣E是銳二面角，

∴二面角C﹣BD﹣E的大小為.