Question

如果奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數且最大值為5，那么f（x）在區間[-7，-3]上是（　　）

A．減函數且最小值是-5

B．增函數且最大值是-5

C．減函數且最大值是-5

D．增函數且最小值是-5

Answer 1

分析：根據題意得任意的x∈[3，7]，有f（x）≤f（7）恒成立，從而對x∈[-7，-3]都有f（-x）≤f（7）恒成立，由函數為奇函數得對任意的x∈[-7，-3]有f（x）≥f（-7）=-5恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函數y=f（x）在區間[3，7]上是增函數，∴f（x）在區間[-7，-3]上也是增函數
∵函數y=f（x）在區間[3，7]上是增函數，最大值為5，
∴當3≤x≤7時，[f（x）]_max=f（7）=5，
即任意的x∈[3，7]，f（x）≤f（7）恒成立．
又∵x∈[-7，-3]時，-x∈[3，7]，得f（-x）≤f（7）恒成立，
∴根據函數為奇函數，得-f（x）≤f（7）即f（x）≥f（-7），
∵f（-7）=-f（7）=-5，
∴對任意的x∈[-7，-3]，f（x）≥f（-7）=-5恒成立，
因此，f（x）在區間[-7，-3]上為增函數且有最小值f（-7）=-5．
故選：D

點評：本題給出函數在某個區間上的奇偶性與單調性，求它在關于原點對稱區間上的單調性與最值．著重考查了函數的奇偶性和單調性及其相互關系等知識，屬于中檔題．