Question

【題目】已知函數f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），當x≠1時，曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0）和點（2﹣x0，f（2﹣x0））處的切線總是平行，現過點（﹣2a，a﹣2）作曲線y＝f（x）的切線，則可作切線的條數為（　　 ）

A..3B..2C.1D..0

Answer 1

【答案】A

【解析】

求得的導數，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得，求得a=－3，設過點作曲線的切線的切點為，求得切線方程，代入可得m的三次方程，構造函數，求得導數和單調性，可得極值，判斷極值符號，即可得到方程的解的個數，可得所求切線的條數．

函數的導數為，

當x0≠1時，曲線在點與點處的切線總是平行，

可得，

化簡可得，解得，

依題意，設過點作曲線的切線的切點為，

可得切線的斜率為，

即有切線的方程為，

代入，可得，

化為，

設，

則，

由1<m<6，可得遞減；

由m>6或m<1，可得遞增，

可得的極小值為，極大值為，

可得有3個實根，

則由點可作曲線的切線的條數為3．

故選：A.