Question

（本小題共14分）
在單調遞增數列中，，不等式對任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設，，求證：對任意的，.

Answer 1

(1) (2) 用反證法證明：假設數列是公比為的等比數列, 因為單調遞增，所以.因為，都成立,從而加以證明。
(3)通過前幾項歸納猜想，然后運用數學歸納法加以證明。

試題分析：（Ⅰ）解：因為是單調遞增數列，
所以，.
令，，，
所以.                  ………………4分 
（Ⅱ）證明：數列不能為等比數列.
用反證法證明：
假設數列是公比為的等比數列，，.
因為單調遞增，所以.
因為，都成立.
所以，  ①
因為，所以，使得當時，.
因為.
所以，當時，，與①矛盾，故假設不成立.………9分
（Ⅲ）證明：觀察： ，，，…，猜想：.
用數學歸納法證明：
（1）當時，成立；
（2）假設當時，成立；
當時，
 
所以.
根據（1）（2）可知，對任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以當時，.
因為.
所以對任意，.
對任意，存在，使得，
因為數列{}單調遞增，
所以，.
因為，
所以.                 ………………14分
點評：解決數列的單調性問題，要根據定義法來說明，同時要對于正面證明比較難的試題，要正難則反，屬于中檔題。